वर्गप्रकृति: पेल से 1,000 साल पहले 'पेल इक्वेशन'
गणित की सबसे कठिन समस्याओं में से एक का भारत का समाधान
अनिश्चित द्विघात इक्वेशन्स को हल करने के लिए चक्रवाल विधि की खोज करें, भास्कर II का सुंदर समाधान।
फ़र्मा की इंग्लैंड को चुनौती
1657 में फ्रांस के मजिस्ट्रेट पियरे द फ़र्मा तूलूज़ में अपने कमरे में बैठे थे। उन्होंने कलम उठाई और इंग्लैंड के मैथमैटिशियंस को एक चुनौती भरी चिट्ठी लिखी। चुनौती यह थी कि इक्वेशन 61x² + 1 = y² के पॉज़िटिव इंटीजर सॉल्यूशन ढूँढो। उन्होंने थोड़ी शरारत से यह भी लिखा कि x = 1 जैसे आसान केस उन्हें नहीं चाहिए, जो छोटे कोएफ़िशिएंट पर चल जाते हैं। उन्हें असली सॉल्यूशन चाहिए थे, और वह भी नंबर 61 के लिए। उन्होंने 61 इसीलिए चुना था कि वे जानते थे कि जवाब बहुत बड़ा निकलेगा। 61x² + 1 = y² को सही करने वाला सबसे छोटा पॉज़िटिव इंटीजर x है 226,153,980। उसके साथ y है 1,766,319,049। फ़र्मा को यह पहले से पता था। वे बस देखना चाहते थे कि क्या यूरोप इसे ढूँढ पाता है।
यूरोप नहीं ढूँढ पाया। इंग्लैंड के जॉन वालिस और विलियम ब्रॉन्कर ने एक तरीका निकाला जो सिद्धांत में चलता था, लेकिन उसमें वह सफ़ाई नहीं थी जो फ़र्मा चाहते थे। करीब सौ साल बाद, 1768 में, जोसेफ़-लुई लाग्रांज ने पहली बार पूरे नियम से साबित किया कि ऐसे हर इक्वेशन के सॉल्यूशन होते हैं। तब तक इस सवाल का नाम गलत आदमी के नाम पर पड़ चुका था। 1732 में लियोनहार्ड ऑयलर ने वालिस की लिखी फ़र्मा और ब्रॉन्कर की चिट्ठियों की कहानी पढ़ी और यूँ ही इस इक्वेशन को जॉन पेल के नाम से जोड़ दिया। पेल इंग्लैंड के मैथमैटिशियन थे, और इस सवाल में उनका योगदान लगभग कुछ नहीं था। फिर भी नाम चल पड़ा। आज भी नंबर थ्योरी की हर टेक्स्टबुक इसे पेल इक्वेशन कहती है।
संस्कृत में इस सवाल का नाम कुछ और है। उसे वर्गप्रकृति कहते हैं, यानी 'वर्ग की प्रकृति'। यह उन इक्वेशंस की पढ़ाई है जिनमें एक वर्ग (स्क्वेयर) पूरे रिश्ते की जान होता है। और जब फ़र्मा ने अपनी चुनौती लिखी, तब तक भारतीय गणित में वर्गप्रकृति का हल एक हज़ार साल से भी पहले निकल चुका था। इसे पूरा करने वाला चक्रवाल तरीका 1150 ईस्वी में भास्कर द्वितीय की बीजगणित में पूरा हो चुका था। फ़र्मा ने जो ख़ास केस चुना था, 61x² + 1 = y², वह उसी किताब में उदाहरण के तौर पर पहले ही हल किया हुआ था। पूरा जवाब वहीं था, जिसे फ़र्मा सोचते थे कि कोई नहीं ढूँढ पाएगा।