कुट्टक: पल्वराइज़र एल्गोरिदम

रेखीय अनिश्चित इक्वेशन्स के लिए आर्यभट की सुंदर विधि

कुट्टक विधि सीखें, रेखीय अनिश्चित इक्वेशन्स को हल करने का एक एल्गोरिदम जिसे आर्यभट ने खगोलीय गणनाओं के लिए विकसित किया।

कुसुमपुर में पल्वराइज़र

साल 499 ईस्वी। गंगा के किनारे बसे शहर कुसुमपुर (आज का पटना) में तेईस साल का एक खगोलशास्त्री आर्यभट अपनी किताब आर्यभटीय का चौथा और आख़िरी पाद पूरा कर रहा है। वह तेल के दीये की रोशनी में एक नीची लकड़ी की मेज़ पर काम करता है। उसके सामने ताड़पत्र के पन्ने हैं, जो सूती धागे से बँधे हैं। पिछले कई महीनों से वह सिर्फ़ एक सवाल में उलझा है।

सवाल यह है। दो ग्रह हैं, मान लीजिए बृहस्पति और शनि। दोनों के घूमने के चक्र अलग-अलग हैं। आज आसमान में एक तय जगह से दोनों कुछ-कुछ दूरी पर हैं। आने वाले किस दिन वे एक ख़ास स्थिति में एक साथ आएँगे?

खगोलशास्त्र हटा दीजिए, तो यह सवाल सीधा अंकगणित बन जाता है। आर्यभट ऐसा नंबर N ढूँढ रहा है जिसे एक अवधि से भाग देने पर एक शेषफल बचे, और दूसरी अवधि से भाग देने पर दूसरा शेषफल बचे। यानी दो शर्तें हैं और अज्ञात एक है। और वह अज्ञात पूरा नंबर ही होना चाहिए, क्योंकि दिन पूरे गिने जाते हैं और ग्रहों के चक्र भिन्नों पर नहीं रुकते। आज के गणितज्ञ इसी को लीनियर इनडिटरमिनेट इक्वेशन कहते हैं, और यह उसका सबसे पुराना रूप है।

अलेक्ज़ेंड्रिया के डायोफ़ैंटस ने ढाई सौ साल पहले यूनानी भाषा में ऐसे सवालों पर सिर खपाया था। वे इन्हें एक-एक करके हल करते थे, कोई आम तरीका उनके पास नहीं था। आर्यभट आज रात जो श्लोक लिख रहा है, उनमें दुनिया को पहला आम अल्गोरिदम मिलेगा। वह उसे कुट्टक कहता है। यह नाम संस्कृत धातु कुट्ट से आया है, जिसका मतलब है 'कूटना' या 'चूर-चूर करना'। नाम बिल्कुल सटीक है। यह अल्गोरिदम बड़े नंबरों को पीसकर छोटे नंबरों में बदल देता है, जब तक बचा हुआ सवाल इतना छोटा न हो जाए कि देखते ही हल हो जाए। फिर वह उसी पिसाई के रास्ते पर उलटा चलकर पूरा जवाब वापस जोड़ देता है। यह सिर्फ़ चतुराई नहीं है। रैखिक अनिश्चित सवालों को हल करने का यह किसी भी परंपरा में दर्ज किया गया पहला आम अल्गोरिदम है।