ज्या-श्रेणी: टेलर से पहले साइन और कोसाइन सीरीज़
त्रिकोणमितीय सीरीज़ जो टेलर से 200 साल पहले थी
जानें कि केरल स्कूल ने साइन और कोसाइन के लिए पावर सीरीज़ विस्तार कैसे विकसित किए जिसे अब हम टेलर सीरीज़ कहते हैं।
आपके फ़ोन में साइन
अपने फ़ोन का कैलकुलेटर खोलिए। सैंतीस डिग्री का साइन निकालिए। स्क्रीन पर 0.6018150232 आता है। यह नंबर किसी टेबल से देखकर नहीं आया। फ़ोन की मैथ्स लाइब्रेरी ने कुछ माइक्रोसेकंड में एक पॉलीनोमियल हल करके इसे निकाला है। वह पॉलीनोमियल साइन की एक इनफ़िनिट सीरीज़ का छोटा किया हुआ रूप है। और इस सीरीज़ को सबसे पहले लिखने वाले न 1715 के ब्रुक टेलर थे, न 1669 के आइज़क न्यूटन। वे केरल के एक गाँव के नंबूदिरी ब्राह्मण माधव थे, संगमग्राम के माधव। उन्होंने करीब 1400 ईस्वी में लोहे की कलम से ताड़पत्र पर यह सीरीज़ लिखी, यानी लगभग तीन सौ साल पहले। माधव ने ताड़पत्र पर जो सीरीज़ उकेरी, वह आज की नोटेशन में ऐसी दिखती है।
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ...
और कोसाइन के लिए उसकी जोड़ीदार सीरीज़।
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ...
जिस भी स्टूडेंट ने कैलकुलस की किताब खोली है, उसने ये दो लाइनें ज़रूर देखी हैं। इन्हें लगभग हमेशा ब्रुक टेलर के नाम से जोड़ा जाता है, जिन्होंने 1715 में अपनी जनरल एक्सपैंशन थ्योरम छापी, या आइज़क न्यूटन के नाम से, जिनके पास 1669 तक साइन सीरीज़ थी। यह श्रेय इतिहास के हिसाब से करीब ढाई सौ साल गलत है। इन सीरीज़ को सबसे पहले श्लोक में, संस्कृत में, दक्षिण भारत में लिखने वाले संगमग्राम के नंबूदिरी ब्राह्मण माधव थे, करीब 1400 ईस्वी में।
माधव कौन थे
माधव (लगभग 1340 से 1425 ईस्वी) संगमग्राम में रहते थे। यह गाँव आज के इरिंजालकुडा के पास, मध्य केरल में है, कोचीन बंदरगाह से करीब साठ किलोमीटर दूर। उनकी अपनी कोई मूल पांडुलिपि नहीं बची। हमारे पास उनके बारे में जो है, वह उनके शिष्यों और शिष्यों के शिष्यों के दिए हवाले हैं। यह परंपरा अगले दो सौ साल चली: परमेश्वर, नीलकंठ सोमयाजी, ज्येष्ठदेव, शंकर वारियर और अच्युत पिषारति। ये सब इनफ़िनिट सीरीज़ के नतीजों का स्रोत माधव को ही बताते हैं। नीलकंठ का तंत्रसंग्रह, जो 1501 में लिखा गया, साफ़ कहता है कि साइन और कोसाइन सीरीज़ माधव की हैं। ज्येष्ठदेव की युक्तिभाषा, जो करीब 1530 में मलयालम में लिखी गई, पूरा डेरिवेशन सँभालकर रखती है और हर कदम पर माधव का नाम लेती है।