आकृतियों का रूपांतरण: क्षेत्रफल-संरक्षण निर्माण

समान क्षेत्रफल के वर्ग को वृत्त में कैसे बदलें

क्षेत्रफल को संरक्षित करते हुए आकृतियों को बदलने के लिए शुल्बसूत्रों में परिष्कृत ज्यामितीय तकनीकें सीखें।

आकार बदलना, एरिया वही रखना

लगभग 200 ईसा पूर्व। ऊपरी गंगा इलाके में एक खुला समतल मैदान। शुल्बकार कात्यायन यहाँ सोम यज्ञ की महावेदी बनवा रहे हैं। वेदी का आकार आइसोसिलीज़ ट्रैपेज़ियम (दोनों तिरछी भुजाएँ बराबर) होना चाहिए। पूर्व की तरफ़ चौबीस पद, पश्चिम की तरफ़ तीस पद, और पूर्व से पश्चिम तक छत्तीस पद। कुल एरिया नियम से पक्का तय है, ठीक नौ सौ बहत्तर वर्ग पद। यजमान फ़ीस दे चुका है। होता और अध्वर्यु तैयार खड़े हैं। कात्यायन के पैरों के पास रस्सी का गुच्छा है, खूँटे हैं, और ज़मीन की वह पट्टी है जिसे उन्होंने सुबह के सूरज के सामने सीध में बाँधा है। सवाल यह नहीं है कि ट्रैपेज़ियम कैसे खींचा जाए। सवाल यह है कि पक्का कैसे हो कि उसका एरिया ठीक नौ सौ बहत्तर वर्ग पद ही निकले। ट्रैपेज़ियम का एरिया सीधे गुणा करके निकाला नहीं जा सकता, और उनकी रस्सी से सिर्फ़ सीधी रेखाएँ और गोल चाप खिंचते हैं। वे एरिया की गणना नहीं कर सकते। वे उसे सिर्फ़ बना सकते हैं। इसके बाद वे जो करते हैं, और जो उनके पहले के शुल्बसूत्रकारों ने उन्हें करने का तरीका दिया, वही इंसानी इतिहास में एरिया बचाए रखने वाले रूपांतरण का सबसे पुराना दर्ज तरीका है।

यह सवाल सुनने में सिद्धांत जैसा लगता है, पर यह एप्लाइड ज्योमेट्री का सबसे पुराना सवाल है। और सच कहें तो इसी सवाल से भारतीय गणित का जन्म हुआ। यूनानी गणितज्ञों ने 'वृत्त का वर्ग बनाना' सिर्फ़ एक पहेली की तरह सोचा। उससे बहुत पहले वैदिक यज्ञ करने वालों को इसे मजबूरी में हल करना पड़ता था। उनके जवाब शुल्बसूत्रों में सुरक्षित हैं। ये रस्सी के मैनुअल थे, जिन्होंने वेदी बनाने को गणित की लैबोरेटरी बना दिया।

वेदी के लिए रूपांतरण क्यों ज़रूरी थे

वैदिक यज्ञ-व्यवस्था बहुत सख़्त थी। अलग-अलग यज्ञ के लिए अलग आकार की वेदी चाहिए थी। सामित्र वेदी चौकोर होती थी। महावेदी आइसोसिलीज़ ट्रैपेज़ियम थी। सबसे बड़े सोम यज्ञों के लिए बनी श्येनचिति पंख फैलाए बाज़ के आकार की थी। नियम पक्का था। हर परत की ईंटों का कुल एरिया तय संख्या में वर्ग पुरुष के बराबर होना चाहिए था। पुरुष यानी यजमान की ऊँचाई, हाथ ऊपर उठाकर। पाँचों परतों में से हर परत में ठीक 200 ईंटें होनी थीं, और उनका कुल एरिया तय। आकार बदल सकता था। एरिया नहीं बदल सकता था।