दशमान: दशमलव प्रणाली की भारतीय उत्पत्ति

'हिंदू अंक' गणना के लिए वैश्विक मानक कैसे बने

वैदिक काल से अल-ख्वारिज्मी के अपनाने और फिबोनाची के लिबर अबाची (1202 ईस्वी) तक स्थानीय मान अंकन का पता लगाएं।

दशमान: दशमलव प्रणाली की भारतीय उत्पत्ति

कोई भी संख्या लिखो - मान लो 7,392। तुमने अभी मानवता के सबसे बड़े आविष्कारों में से एक का इस्तेमाल किया है। यह एक ऐसी प्रणाली है जहाँ किसी अंक की जगह उसकी कीमत तय करती है। वह 7 सिर्फ सात नहीं है - यह सात हज़ार है, क्योंकि वह बाईं ओर है। यह स्थान-मान का नियम है। बस दस चिन्हों (0-9) के साथ, हम कोई भी संख्या - चाहे कितनी बड़ी हो - साफ़ तरीके से लिख सकते हैं।

पश्चिम में हम इन्हें "अरेबिक अंक" कहते हैं। लेकिन अरब विद्वानों को खुद इन्हें "हिंदू अंक" (अल-अरक़ाम अल-हिंदिया) कहते थे। यह दशमलव प्रणाली भारत में बनी थी। यह वैदिक काल से शास्त्रीय काल तक सदियों में विकसित हुई। फिर यह पश्चिम की ओर गई - इतिहास के सबसे बड़े ज्ञान-हस्तांतरण में से एक के ज़रिये।

स्थान-मान की जीनियस

भारतीय गणितज्ञों ने जो किया, उसे समझने के लिए दूसरे तरीके देखो।

रोमन अंक में कोई स्थान-मान नहीं था। MCMXLVII (1947) को समझने के लिए हर चिन्ह अलग से समझना पड़ता था: M=1000, CM=900, XL=40, VII=7। गुणा करना बेहद मुश्किल था। CXXIII × XLVII को बिना दूसरी प्रणाली में बदले गुणा कर सकते हो? नहीं!

मिस्र के अंक में 1, 10, 100, 1000 आदि के लिए अलग-अलग चिन्ह थे। 4,622 लिखने के लिए चार कमल के फूल (1000s), छः रस्सियों की कुंडली (100s), दो एड़ियों की हड्डियां (10s), और दो लकीरें (1s) बनानी पड़तीं। जोड़ना आसान था, पर यह प्रणाली बड़ी संख्याओं के लिए काम नहीं करती थी।

बेबीलोनियाई अंक पहली बार स्थान-मान लाये। पर उन्होंने 60 का आधार चुना - इसका मतलब 59 अलग-अलग चिन्हों को याद रखना पड़ता था। और उनके पास लंबे समय तक सही "शून्य" नहीं था। यह भ्रम पैदा करता था।

भारतीय प्रणाली ने सभी समस्याओं का हल निकाला। दस साधारण चिन्ह। स्थान से कीमत तय होना। खाली जगहों के लिए शून्य। यह सुंदर था, बड़ी संख्याओं के लिए काम करती थी, और गणना में शक्तिशाली थी।

वैदिक मूल: दस की शक्ति

दशमलव प्रणाली की जड़ें वेद में गहराई से हैं। यजुर्वेद शायद 1200-1000 ईसा पूर्व में लिखा गया था। इसमें संख्याओं के नाम दस के अनुसार व्यवस्थित हैं:

• एक (1), दश (10), शत (100), सहस्र (1,000)
• अयुत (10,000), नियुत (100,000), प्रयुत (1,000,000)
• और इसके बाद परार्ध (10^17) - "अनंत का आधा"

यह सिर्फ शब्द नहीं थे। यह एक पूरी सोच-विचार की प्रणाली थी। वैदिक याजक जटिल यज्ञ करते थे। उन्हें बहुत सारी चीजों की गिनती करनी पड़ती थी। तारों की गति समझनी पड़ती थी। मंदिरों को ठीक आकार में बनाना पड़ता था। दशमलव प्रणाली इन सब कामों में मदद करती थी।

शतपथ ब्राह्मण (लगभग 800-600 ईसा पूर्व) में 10,800 जैसी बड़ी संख्याएं आती हैं। यह एक साल में घंटों की संख्या है। लेखकों ने इसे आसानी से लिखा है। इसका मतलब है कि बड़ी संख्याओं के साथ खेलना आम बात थी। जब धार्मिक किताबें हज़ारों और लाखों की संख्याएं बताती हैं, तो तुम्हें एक प्रणाली बनानी ही पड़ती है।

शब्दों के अंकों से लिखित चिन्हों तक

पुराने समय में भारतीय गणितज्ञ शब्दों से संख्याएं दिखाते थे। "एक" का मतलब 1, "द्वि" का मतलब 2 - ऐसे। आर्यभट (499 ईसवी) ने एक अलग तरीका निकाला। वह अक्षरों का इस्तेमाल करके संख्याओं को दिखाते थे। कुछ अक्षरों का मतलब कुछ संख्याएं थीं। यह याद रखने में आसान था। पर गणना करने में मुश्किल था।

सच्चा लिखित रूप धीरे-धीरे आया। गुप्त काल (320-550 ईसवी) में यह बदलाव शुरू हुआ। बक्षाली की पांडुलिपि (3वीं से 9वीं सदी के बीच) में अंक दिखते हैं और शून्य के लिए एक बिंदु है। छठी सदी के बाद के शिलालेख दिखाते हैं कि अंकों का आकार एक समान होने लगा।

ब्रह्मगुप्त के समय (628 ईसवी) तक, यह पूरी तरह तैयार था। नौ अंक और एक शून्य। हर अंक दाईं ओर से बाईं ओर दस गुना बड़ा हो जाता था। जोड़ना, घटाना, गुणा करना - सब के लिए साफ़ नियम थे। ग्वालियर शिलालेख (876 ईसवी) के अंक लगभग आधुनिक अंकों जैसे हैं।

आर्यभट: गणित के क्रांतिकारी

आर्यभट (476-550 ईसवी) ने दशमलव अंकों को नहीं बनाया। पर उन्होंने दिखाया कि इनकी कितनी शक्ति है। वह 23 साल की उम्र में कुसुमपुर (अब पटना) के खगोल-केंद्र में काम करते थे। उन्होंने एक किताब बनाई जिसमें उन्होंने गिनती की:

• पृथ्वी की परिधि: 39,968 किलोमीटर (असल में 40,075) - 99.7% सही!
• एक साल की लंबाई: 365 दिन, 6 घंटे, 12 मिनट, 30 सेकंड - आजकल की गिनती के बराबर!
• पाई (π) का मान: 3.1416 - चार दशमलव तक सही!

ये गिनतियां बहुत बड़ी संख्याओं और मुश्किल हिसाब की मांग करती हैं। दशमलव प्रणाली के बिना, इतनी सही गिनती संभव नहीं थी। आर्यभट ने साइन की संख्याओं को श्लोकों (कविता-वाक्यों) में छुपा दिया। पर गहरे में, सब कुछ दशमलव गिनती पर निर्भर था।

ब्राह्मी लिपि का संबंध

भारतीय अंक ब्राह्मी लिपि से बने। ब्राह्मी को तीसरी सदी ईसा पूर्व से पूरे भारत में इस्तेमाल किया जाता था। शुरुआत में ब्राह्मी के अंकों के लिए 1-9 के अलग चिन्ह थे। 10, 20, 30 के अलग, 100, 200, 300 के अलग। यह मिस्र के तरीके जैसा ही था।

बड़ा कदम तब आया जब लोगों ने इन सब अलग-अलग चिन्हों को छोड़ दिया। एक नया सोच आया: हर जगह पर 0-9 का कोई भी अंक रख सकते हो। हर अंक की कीमत उसकी जगह पर निर्भर करती है - बाकी कुछ पर नहीं। इससे दर्जनों चिन्हों की ज़रूरत नहीं रही। यह बदलाव लगभग चौथी से छठी सदी ईसवी के बीच हुआ। और यह भारतीय अंकों को दुनिया की सबसे कुशल प्रणाली बना गया।

बगदाद की यात्रा

773 ईसवी में, एक भारतीय खगोल-दल बगदाद पहुंचा। वह खलीफा अल-मंसूर के दरबार में गये। वह भारतीय किताबें और गिनती की विधियां लायें। खलीफा अपनी नई राजधानी को सीखने का केंद्र बना रहे थे। उन्होंने किताबों को अरबी में अनुवाद करने का आदेश दिया।

खगोलशास्त्री अल-फज़ारी और दूसरों ने इन किताबों को अनुवाद किया। भारतीय गणित अरबी भाषा के लोगों तक पहुंचा। एक पीढ़ी बाद, मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी आये। उन्होंने इस ज्ञान को कई किताबों में व्यवस्थित किया।

अल-ख्वारिज़्मी की किताब का नाम था: "हिंदू गिनती के अनुसार जोड़ और घटाव की किताब।" उन्होंने साफ़ लिखा कि यह भारत से आया है:

"हमने भारतीयों की गिनती को नौ अंकों से समझाने का फैसला किया है। इन नौ अंकों और शून्य से, कोई भी संख्या लिखी जा सकती है।"

अरबी किताबें साफ़ कहती थीं: यह "हिंदू गिनती" थी। अरब विद्वानों ने इसे और बेहतर बनाया, इसे मानक रूप दिया, नई चीजें सीखीं। पर वह हमेशा भारत को श्रेय देते थे।

फिबोनाच्चि का मिशन

लिओनार्डो ऑफ पीसा को बाद में फिबोनाच्चि कहा जाता था। वह बुजिया (आज का अल्जीरिया) में बड़े हुए। उनके पिता पीसान व्यापारियों के लिए काम करते थे। वहीं लिओनार्डो ने अरब व्यापारियों और शिक्षकों से "हिंदू-अरबी" अंक सीखे।

जब लिओनार्डो इटली लौटे, तो उन्हें पता चला कि यूरोपीय व्यापारी और विद्वान अभी भी रोमन अंकों से जूझ रहे हैं। उन्हें गिनती-पट्टियों (एबैकस) की ज़रूरत पड़ती थी। 1202 में, लिओनार्डो ने एक बड़ी किताब लिखी: "गिनती की किताब" (लिबर अबाची)। इस किताब में उन्होंने नई प्रणाली की शक्ति दिखाई।

लिओनार्डो ने शुरुआत में एक घोषणा की:

"नौ भारतीय अंक हैं: 9 8 7 6 5 4 3 2 1। इन नौ अंकों और शून्य के साथ - जिसे अरब "ज़ीरो" कहते हैं - कोई भी संख्या लिखी जा सकती है।"

किताब में व्यापारियों के सवाल थे: पैसों की बदली कैसे करते हो? लाभ की गिनती कैसे करते हो? ब्याज कैसे लगता है? साझेदारी में हिस्सा कैसे बांटते हो? लिओनार्डो ने दिखाया कि रोमन अंकों से घंटों लगने वाले काम, भारतीय अंकों से मिनटों में हो सकते हैं।

यूरोप की धीमी स्वीकृति

"लिबर अबाची" बहुत शानदार किताब थी। पर यूरोप ने इसे माना नहीं। 1299 में, फ्लोरेंस के बैंकों ने भारतीय-अरबी अंकों पर प्रतिबंध लगा दिया। (हमने एक पिछली कक्षा में इसके बारे में बात की थी।) लोग शक करते थे। जो लोग रोमन अंकों में सीखे-पढ़े थे, वह नई प्रणाली सीखना नहीं चाहते थे। ये नए चिन्ह विदेशी लगते थे। लोगों को लगता था कि इनसे धोखाधड़ी हो सकती है।

स्वीकृति धीरे-धीरे तीन तरीकों से आई:

विश्वविद्यालय: विद्वानों को पता चला कि यह प्रणाली गणित में बेहतर है। 14वीं सदी तक, बड़े यूरोपीय विश्वविद्यालयों में भारतीय-अरबी अंकों की शिक्षा दी जाती थी।

व्यापार: व्यापारी इस्लामी दुनिया से कारोबार करते थे। मुश्किल हिसाब करने के लिए उन्हें नई प्रणाली चाहिए थी। इटली में 14वीं सदी में "दोहरी-प्रविष्टि" की किताबें बनीं (दोनों तरफ लिखना)। यह प्रणाली भारतीय-अरबी अंकों के साथ बिल्कुल काम करती थी।

छपाई: गुटेनबर्ग की प्रिंटिंग मशीन (1450s) ने अंकों का आकार मानक कर दिया। छपी हुई गिनती की किताबें सामान्य लोगों तक पहुंचीं।

1500 तक, लड़ाई खत्म हो गई। भारतीय-अरबी अंक यूरोप का मानक बन गये। पर नाम ने हकीकत को छुपा दिया। "अरेबिक अंक" नाम से लोग भूल गये कि ये असल में भारत से आये हैं।

अंकों की शक्लें: एक दृश्य यात्रा

आधुनिक अंक (0123456789) एक दिलचस्प सफर के बाद बने। तीसरी सदी ईसा पूर्व के ब्राह्मी अंक बिल्कुल अलग दिखते थे। गुप्त काल (चौथी-छठी सदी) के अंकों में कुछ समानता दिखने लगी। ग्वालियर शिलालेख (876 ईसवी) में 0, 1, 4, 6, 7, 9 लगभग आधुनिक आकार के हैं।

अरब लोगों ने कुछ आकार बदल दिये। वह दाईं ओर से बाईं ओर लिखते थे। इससे अंकों की दिशा कभी-कभी बदल गई। आज अरब दुनिया में जो अंक इस्तेमाल होते हैं (٠١٢٣٤٥٦٧٨٩) वह पश्चिम के अंकों से अलग हैं। ऐसा इसलिए है कि पश्चिमी परंपरा ने पुरानी अरबी शक्लें बचा रखीं।

पर सब बदलाव के बाद भी, एक बात हमेशा वही रही: नौ अंक और शून्य, स्थान-मान, दस की शक्तियां।

दस क्यों?

दस अंकों को क्यों चुना? आठ क्यों नहीं, या बारह, या साठ? कारण: उंगलियां। संस्कृत शब्द "दश" (दस) लैटिन "डेसेम", यूनानी "डेका", और अंग्रेजी "ten" से मिलता है। सब उसी मूल से आते हैं जिसका मतलब है "दोनों हाथों की उंगलियां।"

दूसरे आधार के फायदे भी हैं। 12 का आधार 2, 3, 4, 6 से भाग जाता है। यह भिन्नों के लिए अच्छा है। 60 का आधार (बेबीलोन) और भी ज्यादा भाग देता है। 2 का आधार (बाइनरी) सभी कंप्यूटर चलाता है।

पर मानव का शरीर दस को सहज बनाता है। बच्चे उंगलियों पर गिनना सीखते हैं। व्यापारी अपनी उंगलियों के इशारे से गिनती की जांच कर सकते थे। दशमलव "अपना" लगता है। इसीलिए यह सारी दुनिया में फैला।

दशमलव का आज का कर्म

दशमलव इतना आम है कि हमें ध्यान नहीं देते। हर कीमत, हर फोन नंबर, हर वैज्ञानिक माप, हर पता - सब में भारतीय-अरबी अंक और दशमलव है। दुनिया भर में सहमति है: 1,000,000 का मतलब टोकियो, साओ पाउलो, और लागोस में एक ही है।

मीट्रिक माप (ग्राम, मीटर, लीटर) सीधे दशमलव पर बने हैं। किलोमीटर से मीटर बदलना? बस दशमलव को हिलाओ। यह सुंदरता वेद के गणितज्ञों से आई - जिन्होंने दस की शक्तियों को व्यवस्थित नाम दिये।

कंप्यूटर विज्ञान भी बाइनरी (0 और 1) में काम करता है। पर तुम्हें नतीजे दशमलव में दिखते हैं - क्योंकि वह तुम्हें समझ आता है। मशीन की क्षमता (बाइनरी) और मनुष्य की समझ (दशमलव) के बीच अंतर को भारतीय अंक पाट देते हैं।

नाम का सवाल

"अरेबिक अंक" भारत की बात भूलाता है। "हिंदू-अरबी अंक" श्रेय को आधा करता है। "भारतीय अंक" अरबों के काम को नज़रअंदाज़ करता है। तो सही नाम क्या है?

इतिहास की सच्चाई माने। अरब विद्वान खुद इन्हें "हिंदू अंक" कहते थे। उनकी किताबों का नाम "हिंदू गिनती" था। आज की शिक्षा भारत की शुरुआत को मानती है - पर अरबों के काम को भी।

शायद सबसे सही बात यह है: भारत ने इसे बनाया। बगदाद ने इसे सुधारा। यूरोप ने इसे फैलाया। तीनों ने योगदान दिया। भारत ने आविष्कार किया, बगदाद ने रक्षा की, यूरोप ने दुनिया को दिया।

वह नौ अंक और शून्य (0-9) - बस साधारण आकार। पर ये एक मानवीय सफलता की गवाही हैं। ज्ञान जो संस्कृतियों के पार बहा। भाषाओं के पार। सदियों के पार। और मानवता की साझी भाषा बन गया।