कम्प्यूटेशनल विधियां: कंप्यूटर से पहले एल्गोरिदम
आर्यभट्ट का कुट्टक और चक्रवाल, प्राचीन भारत में पुनरावृत्ति और इटरेशन
रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए कुट्टक (पल्वराइज़र) एल्गोरिदम और पेल के समीकरण को हल करने के लिए चक्रवाल चक्रीय विधि का अन्वेषण करें।
कम्प्यूटेशनल विधियां: कंप्यूटर से पहले एल्गोरिदम
"एल्गोरिदम" शब्द अल-ख़्वारिज़मी से आया है, जो 9वीं सदी के फारसी गणितज्ञ थे। लेकिन यह विचार - एक चरण-दर-चरण प्रक्रिया जो समाधान की गारंटी देती है - अल-ख़्वारिज़मी के जन्म से सदियों पहले भारत में फला-फूला।
भारतीय गणितज्ञों ने बहुत ही जटिल एल्गोरिदम बनाए: कुट्टक जो एक साथ कई रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए, चक्रवाल जो कठिन द्विघात समीकरणों का पूर्ण संख्या समाधान खोजने के लिए, और वर्गमूल और त्रिकोणमिति के कार्यों की गणना के लिए पुनरावर्ती विधियां। ये सिर्फ चालाकी नहीं थीं। ये व्यवस्थित प्रक्रियाएं थीं जो हमेशा खत्म होती थीं और जिनके सही होने को साबित किया जा सकता था।
एक तरह से, प्राचीन भारतीय गणितज्ञ प्रोग्रामिंग कर रहे थे। वे ऐसी प्रक्रियाएं लिख रहे थे जो एक तरीके से चलाई जा सकती थीं और सही जवाब देती थीं। आधुनिक कंप्यूटिंग से एकमात्र अंतर यह था कि "प्रोसेसर" एक मशीन नहीं, बल्कि एक इंसान था।
एल्गोरिदम क्या चीज़ होती है?
एक एल्गोरिदम के कुछ विशेष गुण होते हैं:
- स्पष्टता: हर चरण बिल्कुल साफ होता है। यह पता होता है कि क्या करना है
- सीमितता: प्रक्रिया कुछ समय बाद खत्म हो जाती है
- इनपुट/आउटपुट: यह कुछ इनपुट लेता है और आउटपुट देता है
- प्रभावशीलता: हर चरण को असली में किया जा सकता है। कल्पना नहीं करनी पड़ती
आधुनिक कंप्यूटर हर सेकंड लाखों बार एल्गोरिदम चलाते हैं। लेकिन कंप्यूटर बनने से बहुत पहले ही एल्गोरिदम थे। ये सोचने के तरीके हैं। ये समस्या हल करने की प्रक्रियाएं हैं। आप इन्हें संस्कृत के श्लोकों में भी लिख सकते हैं या पायथन प्रोग्रामिंग में भी।
कुट्टक: समस्या को पीसना
कुट्टक ("पीसने वाली विधि") रैखिक अनिर्धारित समीकरणों को हल करने का एक एल्गोरिदम है। ये ऐसी समीकरणें होती हैं जिनके अनंत समाधान होते हैं। मान लीजिए:
ax + c = by